数学基礎 — 動かして確かめる

データサイエンスで使う道具としての数学を、数・関数・確率・分布・微分・積分・ベクトル・行列の順に一巡します。式はすべて図と対応させ、値を動かして確かめられるようにしてあります。

各章の見出し右の灰色の番号は、講義スライド Math05072025.pptx（2025-06-01 版）の該当ページです。原スライドの記述に誤りがあった箇所は、その場で訂正を示し、末尾の付録に一覧をまとめました。

数の世界原スライド p.3–4

データはすべて数で表されます。まず、その「数」がどこまで広がっているかを確認します。

数は、外側へ行くほど広い入れ子になっています。自然数から出発して、引き算を自由にするために整数へ、割り算を自由にするために有理数へ、というように「今までできなかった計算を可能にする」たびに数の世界が広がってきました。

関数とは原スライド p.5–8

「関数」の語源は箱です。函（はこ）に入力を入れると出力が出てくる、という道具立てを表しています。

入力 x を1つ決めると出力 y がただ1つ決まる — この対応を関数（function）といい、y = f(x) と書きます。入力の集合を定義域、出力の集合を値域といいます。

関数であるもの・ないもの

入力1つに出力が2つ以上ある対応は、関数ではありません。判定の基準は「左（入力）から出る矢印が1本だけか」です。出力側が重なるのは構いません。

三角関数原スライド p.9

三角関数は角度を比に変える関数です。角度を入れると、直角三角形の辺の比が返ってきます。

直角三角形で書けば、斜辺 h、角 θ の対辺 a、隣辺 b に対して次のとおりです。

角の単位には度とラジアンがあり、180° = π ラジアン、360° = 2π ラジアンです。微分・積分ではラジアンを使います（後述の (sin x)′ = cos x はラジアンでのみ成り立ちます）。

指数関数と対数関数原スライド p.10–14, 22–23

指数関数は「かけ算を繰り返す」関数、対数関数はその逆向きで「何回かけたか」を答える関数です。

a > 0, a ≠ 1 のとき、y = a^x を a を底とする指数関数といいます。逆に、正の数 R に対して a^r = R を満たす実数 r はただ1つ定まり、これを r = log_aR と書きます。y = log_ax（x > 0）が対数関数です。

確率原スライド p.15–16

サイコロで1の目が出る確率は 1/6 = 16.666…%。これは全体を1としたときの「面積の割合」だと考えると、後の積分まで一直線につながります。

回数を増やすほど実測の割合は 1/6 に近づきます（大数の法則）。逆にいえば、少ない試行で得られた割合を確率とみなすのは危険だ、ということでもあります。

分布とヒストグラム原スライド p.17–18, 21

数値の集まりを「どのあたりに、どれくらい固まっているか」で見る道具がヒストグラムです。品質管理の QC七つ道具の1つでもあります。

ここでは、ある試験の得点60人分を実データとして使います。棒の幅（階級の幅）を変えると見え方が変わることを確かめてください。細かすぎるとギザギザで傾向が読めず、粗すぎると山が潰れます。

平均と分散の定義

得点 (x₁, x₂, …, x_n) に対して、平均 μ と分散 σ² は次のとおりです。

正規分布と「上位何%か」原スライド p.18–21

得点分布は多くの場合、左右対称の釣鐘型（ベルカーブ）に近づきます。これを数式で表したものが正規分布 N(μ, σ²) です。

正規分布の式そのものは次のとおりですが、暗記する必要はありません。大事なのは「知りたいのは高さではなく面積である」という点です。

「60点の学生は上位何パーセントか」という問いは、60点より右側の面積を求めよという問いです。面積を求める計算 — それが第9章の積分です。ここで確率・分布と微積分がつながります。

σ が決める「散らばりの物差し」

正規分布では、平均から ±1σ の範囲に約 68.3%、±2σ に約 95.4%、±3σ に約 99.7% が入ります。σ を動かすと、山が細くなったり平たくなったりしますが、この割合は変わりません。

微分原スライド p.24–30

微分は「その瞬間の傾き」を取り出す操作です。2点を結ぶ直線（割線）の傾きを、2点を限りなく近づけたときの行き先として定義します。

点 t と、そこから h だけ離れた点 t + h を結ぶ割線の傾きは、（高さの差）÷（横の差）で

ここで h を 0 に近づけた極限が微分係数、それを x の関数とみたものが導関数です。

導関数の公式

積分原スライド p.31–41

積分は面積を求める操作です。そして「面積を t の関数とみて微分すると元の関数に戻る」— これが微分と積分を結ぶ橋（微積分の基本定理）です。

短冊で埋める（区分求積）

面積の定義は「細い長方形で埋め尽くし、幅を 0 に近づける」ことです。分割数 n を増やすと、短冊の合計が真の面積に近づきます。

面積を微分すると元の関数に戻る

a から t までの面積を S(t) と書きます。t を h だけ増やしたときの面積の増分は、細長い短冊（幅 h、高さおよそ f(t)）なので

不定積分と定積分

微分して f(t) になる関数 F(t) を不定積分（原始関数）といいます。

S(t) = F(t) + C で、S(a) = 0 より C = −F(a)。したがって t = b のとき

積分の公式

置換積分法

x = g(t) と置き換えると dx = g′(t)dt なので、

部分積分法

練習：球の体積原スライド p.40–41

半径 r の球を x 軸に垂直な薄い円盤に切り分けます。位置 x での円盤の半径は三平方の定理から √(r² − x²) なので、断面積は π(r² − x²)。これを −r から r まで積分すれば体積です。

ベクトル原スライド p.42–52

2つ以上の値をまとめて1つの量として扱うのがベクトルです。「点 (4, 8) から (20, 12) へ移動する」という操作を、1つの量 (16, 4) として書けます。

大きさと向きで定まる量をベクトルといい、a = (a_x, a_y) と成分で表します（このページではベクトルを太字の斜体で書きます。矢印つきの a⃗ と同じ意味です）。大きさは三平方の定理から |a| = √(a_x² + a_y²)。置かれている場所は問いませんから、大きさと向きが等しい AB と CD は等しいベクトルです。

内積と外積

行列原スライド p.53–63, 71–74

ベクトルが「数を並べたもの」なら、行列は「数を縦横に並べたもの」。たくさんの数をまとめて一度に演算するための道具で、AI やコンピュータグラフィックスの計算はほぼこれです。

m 行 × n 列に数を並べたものを m×n 行列といいます。連立方程式は行列でひとまとめに書けます。

和・差・積

和と差は同じ位置どうしを足し引きするだけです。積だけは規則が違い、左の行 × 右の列の内積を並べます。左の列数と右の行数が一致していないと計算できません。

特別な行列

• 零行列 O：すべての成分が 0。数の 0 にあたる（A + O = A）
• 単位行列 I：対角成分が 1、他が 0。数の 1 にあたる（AI = A）
• 正方行列：行数と列数が等しい行列。行列式や逆行列が考えられるのはこの形のときだけ

練習：法政工場原スライド p.71–74

車1台をつくるには作業員3人とロボット5台、トラック1台には作業員4人とロボット8台が必要です。作業員1人はサンドイッチ2個とコーヒー3杯、ロボット1台はサンドイッチ6個とコーヒー10杯を消費します。車2台とトラック3台をつくるとき、必要な作業員・ロボット、そしてサンドイッチ・コーヒーは？

台数が 2 台・3 台のとき、作業員 18 人・ロボット 34 台、サンドイッチ 240 個・コーヒー 394 杯。原スライドの答えと一致します。行列の積が「単位あたりの必要量」を連鎖させる装置になっていることが要点です。

行列式原スライド p.64–70

行列式は正方行列から作る1つの数で、その行列が空間を何倍に引き伸ばすかを表します。0 になったら空間が潰れており、逆行列は存在しません。

定義：すべての置換にわたる和

n 次正方行列の行列式は、1〜n の並べ替え（置換）σ すべてについて、各行から1つずつ「列が重ならないように」選んだ積を、符号つきで足し合わせたものです。

2つの要素を入れ替える操作を互換といい、偶数回の互換でつくれる置換を偶置換、奇数回なら奇置換といいます。n = 3 なら置換は 3! = 6 通りで、偶・奇が3つずつです。

3×3 の場合、この 6 項を展開したものがサラスの公式です。

原スライドからの訂正一覧Math05072025.pptx / 2025-06-01 版

Web 化にあたって全75枚の数式・数値を検算しました。見つかった誤りと、その訂正内容です。番号は原スライドのページです。

検算して「正しかった」もの

まぎらわしいけれど正しい、と確認できた箇所です。

• p.39 の答え −3：∫₀³(x²−2x−1)dx = −3。定積分は符号つき面積なので、負になるのが正解です（第9章の図で確認できます）
• p.69 の偶置換・奇置換の分類：123・231・312 が偶、132・213・321 が奇。6通りすべて正しい
• p.70 のサラスの公式：3×3 の6項、符号を含めて正しい
• p.62 の3つ目の例（2×3 と 3×2 の積）：18, 28, 61, 78 すべて正しい
• p.72・p.74 の法政工場：作業員18人・ロボット34台、サンドイッチ240個・コーヒー394杯。すべて正しい
• p.9 の三角関数：図の h（斜辺）, a（対辺）, b（隣辺）と sin/cos/tan/csc/sec/cot の対応は正しい

この Web 版で加えたもの

• スライダ自動再生（▶ 自動）— 三角関数の角度回転、微分の h → 0、区分求積の分割数増加を自動で動かし、収束や変化を眺められます
• 章末クイズ（全8問）— 各章の要点を選択式で確認でき、上部の「理解度」に正解数が出ます
• 母分散と不偏分散の区別（第6章）— 原スライドの σ² は n で割る母分散。標本から母集団を推定する場面では n−1 で割ります
• 符号つき面積の明示（第9章）— p.39 の答えが負になる理由
• 偏差値の定義（第7章）— 正規分布の上側確率と結びつけました
• 行列式＝面積の拡大率（第12章）— 定義（置換の和）と幾何的意味をつなげました
• 三角関数の微分がラジアン限定であること、対数がデータ分析で使われる理由、det = 0 と多重共線性の関係

第3回のまとめ原スライド p.75

• 数 — 自然数から複素数までの入れ子
• 関数、確率 — 入力に対して出力がただ1つ／全体を1としたときの割合
• 分布、ヒストグラム — 散らばりを平均と分散で要約する
• 微分、積分 — 瞬間の傾きと、面積。両者は表裏一体
• ベクトル、行列 — 複数の数をまとめて扱い、変換として使う