第4章行列｜情報学入門（データ演習）

この章のねらい

行列の足し算と掛け算の規則を、手で計算できる
Excel の MMULT と配列数式で行列の積を求められる
同じ計算を VBA の二重ループで書ける
行列の積が「変換の合成」であることを、工場の問題で理解する
行列の積が掛ける順番を変えられないことを確かめる

1. 行列とは

行列（matrix）は、数を縦横に並べた表です。横の並びを行、縦の並びを列といいます（Cells(行, 列) と同じ順です）。

A ＝ abcd 　　B ＝ efgh

1.1 足し算 ── 同じ場所どうしを足す

A ＋ B ＝ a+eb+fc+gd+h

これは素直です。大きさが同じ行列どうしでしか足せません。

1.2 掛け算 ── 行と列を組み合わせる

AB ＝ abcd efgh ＝ ae+bgaf+bhce+dgcf+dh

規則は 1 つだけです。 答えの「i 行 j 列」は、
左の行列の i 行目（橙）と右の行列の j 列目（青）を 先頭から順に掛けて、全部足す。
上の例なら 1 行 1 列は a×e ＋ b×g です。

掛けられる条件。 元資料は 2×2 の場合だけを扱っているので触れていませんが、一般には左の行列の「列の数」と右の行列の「行の数」が同じでなければ掛けられません。（m×n）×（n×p）＝（m×p）── 内側の n が一致し、答えの大きさは外側だけで決まります。 §3 の工場の問題では（1×2）×（2×2）＝（1×2）になっています。

動かす① 掛け算の規則を追う答えのマスをクリック

2. Excel の関数で計算する

Excel には行列の積を求める MMULT 関数があります。足し算はふつうに + で書けます。

元資料 6〜7 枚目の書き方
やること	入れる式
2×2 の掛け算	`=MMULT(A1:B2, C1:D2)`
2×2 の足し算	`=A1:B2 + C1:D2`
行列を直接書く（配列定数）	`={2,10;4,13}` ── `,` が列の区切り、`;` が行の区切り

元資料は答えを入れるとき Ctrl＋Shift＋Enter を押すよう指示しています。これは複数のセルにまたがる答えを返す式（配列数式）を確定するための操作で、当時は必須でした。しかし Microsoft 365 以降の Excel では不要になりました （「動的配列数式」の導入により、ふつうに Enter を押すだけで答えが必要なだけのセルに自動で広がります）。古い Excel や互換モードでは今も必要なので、両方を知っておいてください。

この教材の処理系では MMULT は使えません。 数式を計算する仕組みを持っていないためです（第 2 章 §2）。だから以下ではすべて VBA で計算します ── そしてそれは遠回りではありません。 MMULT は 2 つの行列を掛けるだけですが、 VBA で書ければ何段でも、どんな大きさでも、条件をつけても計算できます。

3. VBA で計算する

まず、規則をそのまま書き下してみます。2×2 なら答えは 4 つなので、4 行書けば済みます。

Sub Macro1()
    Dim a As Double, b As Double, c As Double, d As Double
    Dim e As Double, f As Double, g As Double, h As Double

    ' 行列 A を A1:B2 から、行列 B を D1:E2 から読む
    a = Cells(1, 1): b = Cells(1, 2)
    c = Cells(2, 1): d = Cells(2, 2)
    e = Cells(1, 4): f = Cells(1, 5)
    g = Cells(2, 4): h = Cells(2, 5)

    ' 答えを G1:H2 に書く
    Cells(1, 7) = a * e + b * g
    Cells(1, 8) = a * f + b * h
    Cells(2, 7) = c * e + d * g
    Cells(2, 8) = c * f + d * h

    Cells(4, 1) = "A × B を G1:H2 に入れました"
End Sub

4 つ書くのは我慢できますが、3×3 なら 9 つ、10×10 なら 100 個です。しかも a〜h のような名前は 26 個で尽きます。 ──ここが、繰り返しと配列が必要になる理由です。

3.1 二重ループで書く

同じ計算を、行と列を数え上げる形に書き直します。まだ習っていない For が出てきますが（第 7 章）、「中に書いたことを、i を変えながら繰り返す」と読んでください。

Sub Macro2()
    Dim i As Integer, j As Integer, k As Integer
    Dim n As Integer
    Dim s As Double

    n = 2                        ' 行列の大きさ（2×2）

    ' i：答えの行、j：答えの列
    For i = 1 To n
        For j = 1 To n
            s = 0
            ' k：左の行列の列 ＝ 右の行列の行
            For k = 1 To n
                s = s + Cells(i, k).Value * Cells(k, j + 3).Value
            Next k
            Cells(i, j + 6) = s
        Next j
    Next i

    Cells(4, 1) = "三重ループで A × B を求めました"
    Cells(5, 1) = "掛け算した回数"
    Cells(5, 2) = n * n * n
End Sub

ループが 3 つ入れ子になっています。 外の 2 つ（i, j）が「答えのどのマスを埋めるか」、いちばん内側（k）が「掛けて足す」部分です。だから掛け算の回数は n×n×n ── 大きさが 10 倍になると 1000 倍になります。行列の掛け算が「重い計算」の代表とされるのはこのためで、いまの機械学習の計算時間のほとんどは、実はこの三重ループです。

4. 工場の問題 ── 行列の積の正体

元資料 9・13 枚目の問題です。まず 1 問目。

法政工場では、車とトラックを製造しています。
車を作るためには、作業員 3 人とロボット 5 台必要です。
トラックを作るためには、作業員 4 人とロボット 8 台必要です。
車 2 台とトラック 3 台を作るために必要な作業員とロボットはいくらでしょう。

23 3548 ＝ 2×3+3×42×5+3×8 ＝ 1834

作業員 18 人、ロボット 34 台。

続いて 2 問目（元資料 14・15 枚目）。

作業員は、サンドイッチを 2 個食べ、コーヒーを 3 杯飲みます。
ロボットは、サンドイッチを 6 個、コーヒーを 10 杯燃料として必要とします。
車 2 台とトラック 3 台を作るために必要なサンドイッチとコーヒーはいくらでしょう。

1834 23610 ＝ 240394

サンドイッチ 240 個、コーヒー 394 杯。

ここに、行列の積のいちばん大事な意味が出ています。 元資料は 2 問を続けて計算するだけですが、この 2 問が並んでいることには理由があります。行列は「単位の変換」で、行列の積は「変換をつなげること」なのです。

車・トラック(2, 3)

→

行列 A1 台あたりの
人とロボット

→

作業員・ロボット(18, 34)

→

行列 B1 人・1 台あたりの
食料と燃料

→

サンド・コーヒー(240, 394)

そして A×B を先に計算しておけば、「車・トラック」から「サンドイッチ・コーヒー」へ一気に変換できます ── 途中の人数を経由しなくても同じ答えが出ます。 これが「行列の積」という演算があの形で定義されている理由です。下で実際に確かめてください。

Sub Macro3()
    Dim i As Integer, j As Integer, k As Integer
    Dim s As Double
    Dim v(2) As Double          ' 作った台数（車, トラック）
    Dim A(2, 2) As Double       ' 1 台あたりの 人・ロボット
    Dim B(2, 2) As Double       ' 1 人・1 台あたりの サンド・コーヒー
    Dim w(2) As Double          ' 途中（作業員, ロボット）
    Dim x(2) As Double          ' 最後（サンド, コーヒー）
    Dim AB(2, 2) As Double      ' A と B を先に掛けたもの

    ' 読み込む
    v(1) = Cells(2, 1): v(2) = Cells(2, 2)
    For i = 1 To 2
        For j = 1 To 2
            A(i, j) = Cells(4 + i, j).Value
            B(i, j) = Cells(4 + i, j + 3).Value
        Next j
    Next i

    ' ① 途中を通る： v × A → w、 w × B → x
    For j = 1 To 2
        s = 0
        For k = 1 To 2
            s = s + v(k) * A(k, j)
        Next k
        w(j) = s
    Next j
    For j = 1 To 2
        s = 0
        For k = 1 To 2
            s = s + w(k) * B(k, j)
        Next k
        x(j) = s
    Next j

    Cells(8, 1) = "① 作業員":   Cells(8, 2) = w(1)
    Cells(9, 1) = "① ロボット": Cells(9, 2) = w(2)
    Cells(8, 4) = "① サンド":   Cells(8, 5) = x(1)
    Cells(9, 4) = "① コーヒー": Cells(9, 5) = x(2)

    ' ② A×B を先に計算して、v に一気に掛ける
    For i = 1 To 2
        For j = 1 To 2
            s = 0
            For k = 1 To 2
                s = s + A(i, k) * B(k, j)
            Next k
            AB(i, j) = s
            Cells(4 + i, j + 6) = s
        Next j
    Next i
    Cells(4, 7) = "A×B"

    For j = 1 To 2
        s = 0
        For k = 1 To 2
            s = s + v(k) * AB(k, j)
        Next k
        Cells(7 + j, 7) = s
    Next j
    Cells(7, 7) = "② 一気に"

    ' 一致しているか
    Cells(11, 1) = "①と②は同じか"
    If Cells(8, 5).Value = Cells(8, 7).Value And Cells(9, 5).Value = Cells(9, 7).Value Then
        Cells(11, 2) = "同じ（結合法則）"
        Cells(11, 2).Interior.Color = RGB(198, 239, 206)
    Else
        Cells(11, 2) = "違う"
        Cells(11, 2).Interior.Color = RGB(255, 199, 206)
    End If
End Sub

(v×A)×B ＝ v×(A×B) ── これを結合法則といいます。「途中で人数を数えてから食料を計算する」のと「変換表をあらかじめ合成しておく」のが同じ答えになる、ということです。コンピュータグラフィックス（第 15 章）で、拡大・回転・移動をまとめて 1 つの行列にするのも、まったく同じ性質を使っています。

4.1 順番は変えられない

足し算や掛け算と違って、行列の積は順番を入れかえられません （AB ≠ BA）。元資料は触れていませんが、これは大事な性質です。工場の例で考えれば当たり前で ── 「車 → 人 → 食料」の順に変換するのが正しいのに、「車 → 食料 → 人」と掛けたら意味をなしません。 行列の積は「変換の順序」を表しているので、順番に意味があるのです。

Sub Macro4()
    Dim i As Integer, j As Integer, k As Integer
    Dim s As Double
    Dim onaji As Boolean

    ' A×B を G1:H2 に
    For i = 1 To 2
        For j = 1 To 2
            s = 0
            For k = 1 To 2
                s = s + Cells(i, k).Value * Cells(k, j + 3).Value
            Next k
            Cells(i, j + 6) = s
        Next j
    Next i
    Cells(4, 7) = "↑ A×B"

    ' B×A を G5:H6 に（左右を入れかえるだけ）
    For i = 1 To 2
        For j = 1 To 2
            s = 0
            For k = 1 To 2
                s = s + Cells(i, k + 3).Value * Cells(k, j).Value
            Next k
            Cells(i + 5, j + 6) = s
        Next j
    Next i
    Cells(8, 7) = "↑ B×A"

    onaji = True
    For i = 1 To 2
        For j = 1 To 2
            If Cells(i, j + 6).Value <> Cells(i + 5, j + 6).Value Then onaji = False
        Next j
    Next i

    Cells(4, 1) = "A×B と B×A は同じか"
    If onaji Then
        Cells(5, 1) = "同じだった（たまたま）"
    Else
        Cells(5, 1) = "違う ── 順番を変えられない"
        Cells(5, 1).Interior.Color = RGB(255, 235, 156)
    End If
End Sub

5. まとめ

行列の足し算は同じ場所どうし。大きさが同じでないと足せない
掛け算は左の行 × 右の列を掛けて全部足す。（m×n）×（n×p）＝（m×p）
Excel は MMULT。Microsoft 365 では Ctrl+Shift+Enter は不要になった
VBA では三重ループ。掛け算の回数は n³ で、大きさに対して急に重くなる
行列は単位の変換、行列の積は変換の合成。だから (vA)B ＝ v(AB)（結合法則）
ただし AB ≠ BA。変換の順序に意味があるから

章末問題

付録：元資料からの修正一覧

もとにしたのは「情報学入門（VBA）120-2019」全 15 枚です。

元資料	この教材	種別
配列数式の確定に `Ctrl`＋`Shift`＋`Enter` を要求している	Microsoft 365 以降では不要（動的配列数式）。古い Excel では今も必要なので両方を記述	古い
2×2 の場合だけを扱い、掛けられる条件（左の列数＝右の行数）に触れていない	（m×n）×（n×p）＝（m×p）として明示。工場の問題が（1×2）×（2×2）であることも示した	不足
工場の問題を 2 問続けて計算するが、2 問が並んでいる意味を説明していない	行列は単位の変換、積は変換の合成。結合法則を実際に確かめるモデルを追加	不足
AB ≠ BA（交換法則が成り立たない）に触れていない	§4.1 として追加。工場の例で「順序に意味がある」ことと結びつけた	不足
VBA での書き方が画面の画像で示されるだけで、一般化（二重・三重ループ）への道筋がない	規則そのままの 4 行版 → 三重ループ版と並べ、なぜループが必要かを示した。計算量 n³ にも言及	不足
「型宣言は、省略すると Variant 型となる」（第 3 章と重複）	第 3 章に集約。この章では配列（`Dim A(2, 2) As Double`）の形で使った	重複

元資料の計算はすべて正しいことを検算しました。 2×2 の積の展開（ae+bg など）、配列定数の書き方（, が列・; が行）、 =MMULT(A1:B2,C1:D2)、=A1:B2+C1:D2、工場の問題の答え（2 3）×（3 5 / 4 8）＝（18 34）と（18 34）×（2 3 / 6 10）＝（240 394）── いずれも正確です。